---

موقعیت قرارگیری سیاره‌های سیستم‌های چرخدنده‌ای سیاره‌‌ای به دو صورت سیاره‌ها با موقعیت قرارگیری یکسان و سیاره‌ها با موقعیت قرارگیری غیر یکسان نسبت به یکدیگر می‌باشد. پژوهش حاضر فرکانس‌های طبیعی و مد‌های ارتعاشی سیستم سیاره‌ای ساده تک مرحله‌ای را با موقعیت قرارگیری غیر یکسان سیاره‌ها نسبت به یکدیگر بررسی می‌کند. سیستم دینامیکی مجموعه چرخدنده‌ سیاره‌ای این پژوهش به صورت مجموعه‌ای از جرم و فنر مدل‌سازی شده است. هر یک از اجزاء شامل چرخدنده خورشیدی، حمل‌کننده سیاره‌ها، چرخدنده رینگ و سیاره‌ها دارای سه درجه آزادی هستند که صورت اجسام صلب مدل شده‌اند. سختی یاتاقان‌ها و سختی ناشی از تغییر شکل دندانه چرخدنده‌ها به صورت فنر‌های خطی شبیه‌سازی شده‌اند. به طور کلی، سیستم‌های سیاره‌ای دارای پنج مد ارتعاشی سیاره‌ای، دورانی، انتقالی، متمایز و غیر مقید می‌باشند. بر اساس نتایج، مد انتقالی در سیستم‌ها با موقعیت قرارگیری یکسان و غیر یکسان تعداد سیاره‌های زوج نسبت به یکدیگر، متفاوت می‌باشد و مدهای دورانی و سیاره‌ای برای هر دو سیستم دارای ویژگی‌های مشابهی می‌باشند. به‌نحویکه یرای سیستم با موقعیت قرارگیری غیر یکسان تعداد سیاره‌های زوج نسبت به یکدیگر، فرکانس‌های طبیعی متناظر با مد‌های انتقالی دارای گوناگونی یک می‌باشند. با فرد شدن تعداد سیاره‌ها و غیر یکسان شدن موقعیت قرار‌گیری آنها نسبت به یکدیگر، مد‌های ارتعاشی دورانی و سیاره‌ای در سیستم به‌وجود می‌آیند و فرکانس‌های طبیعی متناظر با مد‌های انتقالی در سیستم ظاهر نمی‌شوند. برای مدهای متمایز و غیر مقید موجود در سیستم با موقعیت قرارگیری غیر یکسان سیاره‌ها نسبت به یکدیگر، سیاره‌ها فقط دارای حرکت دورانی می‌باشند.