---

با گسترش سریع میکرو و نانوتکنولوژی، کاربرد نانوسازه‌ها با توجه به خصوصیات ویژه فیزیکی، شیمیایی، مکانیکی و الکترونیکی آنها هر چه بیشتر توسعه می‌یابد؛ از آن جمله می‌توان به استفاده نانوسازه‌ها در حسگرهای کرنش، جرم و دستگاه‌های میکرو و نانوالکترومکانیک اشاره نمود. تأثیر اندازه در رفتار مکانیکی این ساختارها که ابعادشان بسیار کوچک و قابل قیاس با فواصل مولکولی است، حائز اهمیت است. با توجه به این که تئوری‌های کلاسیک توانایی پذیرش تأثیر اندازه کوچک را ندارند، از تئوری الاستیسیته غیر محلی برای منظور نمودن آثار اندازه کوچک استفاده شده است. در این تئوری با فرض این که تنش در یک نقطه تابعی از کرنش همه نقاط محیط است، محدوده وسیعی از نیروهای بین اتمی و ابعاد طولی داخلی در روابط ساختاری مواد همسانگرد و همگن، به‌عنوان پارامترهای ماده مطرح می‌شوند. در این تئوری علاوه بر اجتناب از حل معادلات پیچیده، توانایی پیش‌بینی رفتار نانوسازه‌ها در ابعاد بزرگ نیز وجود دارد. در این تحقیق، کمانش نانوحلقه با درنظر گرفتن اثر برش مورد مطالعه قرار می‌گیرد. معادلات حاکم بر پایه تئوری الاستیسیته غیرمحلی و به کمک کار مجازی و اصل هامیلتون استخراج گردیده است، همچنین از فرضیات تیموشنکو برای اعمال اثر برش استفاده شده و حل تحلیلی برای معادلات ارائه شده است. تأثیرپارامتر غیرمحلی، شعاع، نسبت شعاع به ضخامت و شماره مودهای کمانش بر روی بارهای کمانش نانوحلقه بررسی شده است.

---

در روشهای متداول ریتز و گلرکین بر اساس تئوری الاستیسیته محلی، معمولا از چند جمله ای به عنوان توابع تقریب استفاده می‌ شود. اما این روشها برای استفاده در تحلیل غیرمحلی سه بعدی مناسب ‌نیستند. در مطالعه حاضر برای غلبه بر این مشکل نوعی راهبرد باقیمانده وزنی، با توابع مثلثاتی به عنوان توابع تقریب، ارائه شده است. با انتخاب توابع تقریب مناسب تأثیر تکیه گاه های مختلف در رفتار فرکانسی نانو ورق بررسی شده است. اعتبار سنجی فرمولبندی حاضر از طریق مقایسه نتایج عددی حاصل با نتایج ارائه شده در مقالات انجام پذیرفته است. طبق نتایج عددی حاصل ، رفتار فرکانسی نانو ورق قویاً متأثر از پارامتر غیر محلی بوده و این اثر در مودهای ارتعاشی بالا بدلیل کوچک بودن طول موج مود از اهمیت بالائی برخوردار است. نتایج این تحقیق نشان می‌دهد که تفاوت فاحشی بین رفتار جواب مدل سه بعدی نانوورق و مدل دو بعدی آن وجود دارد و همچنین اختلاف پاسخ تحلیل دو و سه بعدی در این حد در الاستیسیته کلاسیک بارز نیست. همچنین تاثیرات نسبت طول به ضخامت، نسبت ابعادی، پارامتر غیرمحلی، و شرایط مرزی مختلف بر فرکانس طبیعی پایه نانوورق مورد مطالعه قرار گرفته است. این حل مرجع می‌تواند برای تخمین دقت تئوریهای دو بعدی مرسوم مورد استفاده قرار گیرد.

---

در این مقاله، رفتار کمانشی نانو ورق‌ هوشمند چند لایه از جنس گرافین با دو لایه‌ پیزوالکتریک در بالا و پایین در حالت مدار باز مورد بررسی قرار گرفته است. تحلیل بر اساس تئوریهای الاستیسیته غیرمحلی و تغییر شکل برشی و عمودی انجام شده‌است. به منظور مطالعه‌ تحلیلی کمانش نانو ورق هوشمند، میدان جابجایی خاص تئوری تغییر شکل برشی و عمودی بیان می‌شود. با معرفی توابع لژاندر و شش جمله اول آن‌ها، میدان جابجایی بسط داده شده و روابط غیرخطی کرنش-جابجایی استخراج می‌شوند. معادلات تعادل حاکم بر نانو ورق هوشمند بر پایه تئوری‌های الاستیسیته غیرمحلی و تغیییر شکل برشی و عمودی، با استفاده از اصل حداقل انرژی پتانسیل و معادله‌ ماکسول به دست آمده‌اند. در حوزه‌ حل الکتریکی به منظور بررسی اثر لایه‌های پیزو الکتریک، از معادله ماکسول به عنوان معادله مورد نیاز برای متغیرهای الکتریکی استفاده شده است. با استفاده از معیار تعادل همسایگی، معادلات پایداری حاکم بر نانو ورق هوشمند استخراج شده‌اند. معادلات حاصل با فرض تکیه‌گاه ساده روی هر چهار لبه به صورت تحلیلی حل شده است و بارهای بحرانی کمانش داده شده‌اند. به منظور اعتبارسنجی نتایج، مقادیر بارهای بحرانی کمانش با منابع در دسترس مقایسه می‌شوند. در پایان، پس از بررسی صحت نتایج ارائه شده، نتایج عددی برای اثر پارامترهای مختلف مانند طول نانو ورق، پارامتر غیرمحلی، نسبت ضخامت لایه پیزوالکتریک به ضخامت گرافین، نسبت ضخامت گرافین به طول مشخصه، ضخامت لایه‌های پیزوالکتریک و نوع ماده پیزوالکتریک بر بار بحرانی کمانش با جزئیات مورد مطالعه قرار گرفته است.