---

ریاضیات با مرتبه کسری شاخه‌ای از ریاضیات می‌باشد که در دهه‌های اخیر مورد توجه فراوان دانشمندان علوم مختلف از جمله مهندسی قرار گرفته است. از جمله کاربردهای این شاخه در مهندسی می‌توان به مدلسازی مواد ویسکوالاستیک توسط مشتقات با مرتبه کسری اشاره کرد. در این مقاله سعی شده است با وارد کردن ریاضیات کسری تحت عنوان معادله سازگاری مواد ویسکوالاستیک، در تئوری غیرموضعی، یک نانوتیر اویلر-برنولی ویسکوالاستیک با شرایط مرزی مختلف در دو انتها مدل شود. برای حل معادلات استخراج شده، مشخصات مواد مربوط به یک نانولوله کربنی در نظر گرفته شده است. با دو روش کاملا عددی و عددی- تحلیلی، پاسخ‌های زمانی مربوط به سیستم بدست آمده است. روش اصلی به‌کارگرفته شده یک روش کاملا عددی می‌باشد و در آن از ماتریس‌های اپراتور مشتق‌گیر، برای گسسته‌سازی معادلات در حوزه مکان و زمان استفاده شده است. روش دوم برای اعتبارسنجی نتایج بدست‌آمده از روش قبل ارائه شده است، در این روش با استفاده از رهیافت گلرکین معادله مربوط به سیستم به یک معادله دیفرانسیل معمولی در حوزه زمان تبدیل شده است، سپس معادله حاصل با یک روش عددی انتگرال‌گیری مستقیم حل شده است. در انتها در یک بررسی موردی، تأثیر پارامترهای مختلف از جمله مرتبه کسری لحاظ شده، ضریب ویسکوالاستیسیته و ضریب تئوری غیرموضعی بر پاسخ‌های زمانی تیر اویلر-برنولی تحت شرایط مرزی مختلف مطالعه شده است.

---

ویژگی‌های بی‌نظیر گرافن، زمینه را برای استفاده از این ماده در موارد گوناگون از جمله سیستم‌های دارای حرکت محوری در ابعاد نانو فراهم کرده است. وجود حرکت محوری در سیستم‌ها موجب تغییر رفتار دینامیکی و ارتعاشی آن‌ها می‌گردد. در این پژوهش ارتعاشات یک نوار گرافنی دولایه دارای سرعت محوری ثابت با در نظر گرفتن اثر برش بین‌لایه‌ای و از طریق تئوری غیرموضعی الاستیسیته بررسی شده است. بر مبنای این تئوری تنش در یک نقطه تابعی از کرنش در تمام نقاط جسم است. با توجه به ضخامت بسیار پایین لایه‌های گرافن و طول نوار، هر لایه بر اساس تئوری تیر اویلر‌برنولی مدل شده است. فرض بر این بوده است که جابه‌جایی‌های عرضی و انحنای هر دو لایه با هم برابر بوده و هیچ‌گونه جدایی بین سطوح لایه‌ها هنگام حرکت رخ ندهد. یک مدول برشی برای در نظر گرفتن اثر برش بین‌لایه‌ای ناشی از پیوندهای ضعیف واندروالس در انرژی پتانسیل سیستم وارد شده است. با استفاده از روش همیلتون معادله سیستم به دست آمده و به کمک روش گالرکین حل شده است. نتایجی برای شرایط مرزی یک‌سرگیردار- یک‌سرآزاد به دست آمده و با نتایج سایر مقالات موجود نیز مقایسه و اعتبارسنجی شده است. نتایج کاملتر برای شرایط مرزی دوسرمفصل به دست آمده و مشاهده می‌شود افزایش سرعت محوری موجب ایجاد ناپایداری‌های دیورژانس و فلاتر در سیستم می‌شود. همچنین تاثیر تغییرات مدول برشی و پارامتر غیرموضعی بر روی سرعت‌‌های بحرانی بررسی شده است.