---

حل تحلیلی ارتعاشات آزاد پیچشی نانو ذرات کروی با بکارگیری تئوری الاستیسیته سه بعدی دقیق همراه با مدل گورتین- مرداک برای وارد نمودن اثرات سطح مورد مطالعه قرار گرفته است. برای بدست آوردن معادلات حرکت، معادلات ناویر برای یک محیط مادی نوشته شده و با استفاده از جداسازی هلمهولتز، معادلات ناویر به معادلات برداری موج تبدیل شده است سپس با استفاده از فرضیاتی که برای حرکت پیچشی کره مفروض است معادلات برداری موج در سیستم مختصات کروی بصورت دقیق حل شده و میدانهای جابجایی و تانسور تنش استخراج شده است. در ادامه با استفاده از تئوری گورتین- مرداک، اثرات انرژی سطح که بنوعی مبین اندازه نانو برای کره است در شرایط مرزی مساله وارد می‌شود. نهایتا با اعمال شرایط مرزی معادله مشخصه فرکانسی استخراج می‌شود. با در نظر گرفتن نانو کره از جنس آلومنیوم و دو نوع سطح مختلف متاثر از جهت‌های کریستالوگرافی، چندین مثال عددی مورد بررسی قرار گرفته است تا تاثیر انرژی سطح و به ویژه اندازه شعاع داخلی نانو کره بر روی فرکانس‌های طبیعی پیچشی سیستم نشان داده شود. مشاهده می‌شود برای نانو کره آلومنیوم با اندازه کمتر از ۵۰ نانومتر تاثیرات انرژی سطح بر فرکانس طبیعی قابل توجه است