مهندسی مکانیک مدرس

مهندسی مکانیک مدرس

بررسی موازی‌سازی حلگرهای تکراری دستگاه معادلات خطی حاصل از معادله پواسون

نوع مقاله : پژوهشی اصیل

نویسنده
دانشگاه تهران
چکیده
در مقاله حاضر یک بررسی بر موازی‌سازی چند حلگر تکراری دستگاه معادلات خطی حاصل از گسسته‌سازی معادله پواسون به روش تفاضل محدود انجام می‌شود. به طور خاص روش‌های تکراری فوق تخفیف گاوس سایدل نقطه‌ای و خطی و همچنین روش‌های گرادیان مزدوج و گرادیان دومزدوج پایدار شده بررسی می‌گردد. برای روش‌های فوق تخفیف از ضریب فوق تخفیف بهینه استفاده می‌شود. موازی‌سازی ابتدا برای یک پردازنده مرکزی چند هسته‌ای با زبان برنامه‌نویسی سی‌پلاس‌پلاس و کتابخانه اُپن اِم پی و سپس برای یک پردازنده گرافیکی با زبان برنامه‌نویسی کودا صورت می‌گیرد. نتایج حاصل از حل معادله دو بُعدی و همچنین معادله سه بُعدی نشان می‌دهد روش‌های گرادیان مزدوج در بیشتر موارد به علت تعداد تکرار کمتر زمان اجرای کمتری دارند. بررسی زمان اجرای روش‌های مختلف نشان می‌دهد در یک پردازش 8 هسته‌ای نسبت به حالت تک هسته‌ای، افزایش سرعتی تا حدود 10 و 5 برابر به ترتیب در حل معادلات دو بُعدی و سه بُعدی حاصل می‌گردد. علاوه بر آن، استفاده از پردازنده گرافیکی نسبت به حالت 8 هسته‌ای موجب افزایش سرعت بین 5 تا 10 برابر می‌شود.
کلیدواژه‌ها

موضوعات


عنوان مقاله English

Investigation of Iterative Solvers Parallelization for Systems of Linear Equations Resulting from the Poisson Equation

نویسنده English

Hossein Mahmoodi Darian
University of Tehran
چکیده English

In the present article, a survey is carried out on the parallelization of several iterative solvers of the system of linear equations resulting from the discretization of the Poisson equation using the finite difference method. In particular, the point and line Gauss-Seidel successive over-relaxation methods, as well as the conjugate gradient and stabilized biconjugate gradient methods are investigated. For the over-relaxation methods, the optimum over-relaxation coefficient is used. The parallelization is first carried out on a multi-core central processor using C++ programming language and the OpenMP library, and then for a graphics processing unit using CUDA programming language. The results show, for both the two-dimensional and three-dimensional equations, the conjugate gradient methods due to a smaller number of iterations, have less computation time. Comparing the execution time of the different methods shows that for an 8-core processing, speedups of about 10 and 5 are achieved for the two- and three-dimensional equations, respectively. Furthermore, using a graphics processing unit leads to speedups between 5 and 10 in comparison to the 8-core processing.

کلیدواژه‌ها English

Parallel processing
CUDA
Underrelaxation
Conjugate Gradient Method
Poisson equation
Young, D.M., Iterative solution of large linear systems. Computer Science and Applied Mathematics. 1971, San Diego, CA: Academic Press.
Saad, Y., Iterative Methods for Sparse Linear Systems: Second Edition. 2003: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM, 3600 Market Street, Floor 6, Philadelphia, PA 19104).
Świrydowicz, K., et al., Linear solvers for power grid optimization problems: A review of GPU-accelerated linear solvers. Parallel Computing, 2022. 111: p. 102870.
Cotronis, Y., et al., A comparison of CPU and GPU implementations for solving the Convection Diffusion equation using the local Modified SOR method. Parallel Computing, 2014. 40(7): p. 173-185.
Taghavi, S.M.H., P. Akbarzadeh, and H. Mahmoodi Darian, SADI approach programming on GPU: convective heat transfer of nanofluids flow inside a wavy channel. Journal of Thermal Analysis and Calorimetry, 2020.
Foadaddini, A., et al., An efficient GPU-based fractional-step domain decomposition scheme for the reaction–diffusion equation. Computational and Applied Mathematics, 2020. 39(4): p. 305.
Souri, M., P. Akbarzadeh, and H.M. Darian, Parallel Thomas approach development for solving tridiagonal systems in GPU programming − steady and unsteady flow simulation. Mechanics & Industry, 2020. 21(3): p. 303.
Mahmoodi Darian, H. and V. Esfahanian, Assessment of WENO schemes for multi-dimensional Euler equations using GPU. International Journal for Numerical Methods in Fluids, 2014. 76(12): p. 961-981.
Mahmoodi Darian, H., Accelerating high-order WENO schemes using two heterogeneous GPUs. Journal of Computational Applied Mechanics, 2017. 48(2): p. 161-170.
Esfahanian, V., H.M. Darian, and S.M. Iman Gohari, Assessment of WENO schemes for numerical simulation of some hyperbolic equations using GPU. Computers and Fluids, 2013. 80(1): p. 260-268.
Baghapour, B., et al., A discontinuous Galerkin method with block cyclic reduction solver for simulating compressible flows on GPUs. International Journal of Computer Mathematics, 2015. 92(1): p. 110-131.
Di, P., et al., Parallelizing SOR for GPGPUs using alternate loop tiling. Parallel Computing, 2012. 38(6): p. 310-328.
Bozorgmehr, B., et al., Utilizing dynamic parallelism in CUDA to accelerate a 3D red-black successive over relaxation wind-field solver. Environmental Modelling & Software, 2021. 137: p. 104958.
مسیبی, ف., پیاده سازی روش گرادیان مزدوج با کارایی بالا به کمک زبان آزاد محاسباتی روی پردازنده های گرافیکی. روشهای عددی در مهندسی, 2013. 33(1): p. 1-13.
Helfenstein, R. and J. Koko, Parallel preconditioned conjugate gradient algorithm on GPU. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2012. 236(15): p. 3584-3590.
Mittal, S., A study of successive over-relaxation method parallelisation over modern HPC languages. International Journal of High Performance Computing and Networking, 2014. 7(4): p. 292-298.
Uh Zapata, M., D. Pham Van Bang, and K.D. Nguyen, Parallel simulations for a 2D x/z two-phase flow fluid-solid particle model. Computers & Fluids, 2018. 173: p. 103-110.
Xie, D., A New Block Parallel SOR Method and Its Analysis. SIAM Journal on Scientific Computing, 2006. 27(5): p. 1513-1533.
Hoffmann, K.A. and S.T. Chiang, Computational Fluid Dynamics. 2000: Engineering Education System.
Kuo, C.C.J. and T.F. Chan, Two-Color Fourier Analysis of Iterative Algorithms for Elliptic Problems with Red/Black Ordering. SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing, 1990. 11(4): p. 767-793.
Leveque, R.J. and L.N. Trefethen, Fourier Analysis of the SOR Iteration. IMA Journal of Numerical Analysis, 1988. 8(3): p. 273-279.
Yang, S. and M.K. Gobbert, The optimal relaxation parameter for the SOR method applied to the Poisson equation in any space dimensions. Applied Mathematics Letters, 2009. 22(3): p. 325-331.